根本解決はコンタクトと思いますが。めがねが便利であったり、乱視が強くてという人もいらっしゃるでしょう。
汗について。私はおしゃれなバンダナを巻いております。汗もすって、めがねが走ってもぶれなく、個人的には気に入った対処と考えております。うまくやるとイヤホンも引っ掛けられます。サングラスは度入りのものが売っておりますので、お金はかかりますが、度入りのおしゃれなサングラスをかけて、イヤホンをかけるという手もあります。資金と何処に比重を置くかで選んでみてください。

　 　 　

私は走歴２１年の市民トライアスリートです。
ご質問の「走りながら、しばしば眼鏡を取って汗を吹く必要がある。」
これはについては、私もランニングを始めてから眼鏡はかけていますが、どうしようもないかなって
思っています。私も汗っかきですから、たまに走りながら汗をふきますね。

「スタイリッシュなサングラスを掛けられない。」
これは私も同感ですが、若い頃はスポーツタイプのサングラスをしていました。しかしバイク（自転車）に乗る時は恐いため、今は度付きサングラスをしています。現在していますのはお気に入りなんですが、もう一つほしくて眼鏡屋さんにいきましたが、なかなかスポーツタイプの物がありませんね。
スポーツタイプのサングラスはかなり湾曲なため度付きは限界があるとお店の方が言っていました。
あとはみなさんコンタクトレンズを使用して、サングラスをかけていますよ！って聞きました。
私の場合は自分の気に入った度付きサングラスを色々なお店に行って探したいと思っています。

「ランニング用のヘッドフォン（耳に引っ掛けるタイプ）を買ったが、眼鏡と重なって、うまく耳に装着できない。」
これにつきましては、私は走る時に音楽を聴かないのでわかりませんが、いい情報が入るといいですね。

あまり参考になりませんでしたが、同じ眼鏡をかける者としては、眼鏡をファッション感覚でして、ランニングでもテンションを上げて走るのも楽しいと思いますから、これからも楽しくランニングをしていってください。

　 　 　

この悩み、すごく良く分かります。
　私も近視でメガネを手放せないランナーです。
　なれないコンタクトに挑戦していた時期もありましたが、結局、わずらわしくてメガネに戻ってしまいました。
　→走りながらの汗ですが、
　　時折かじっているスポーツ（バスケ、サッカー、バレーボール）では、試合の時にはワンデーのコン　タクトにしていますが、それ以外の時はあきらめて汗を拭いています。
　　ランニングでは、時折鼻あての部分をハンドタオルや手でさっとぬぐう程度はしますが、なんだかな　れてしまいました。
　→サングラスに関してですが、
　　これからの時期、日差しが強くなってきついですよね。サングラスをかけたい気持ちも山々なので　　すが、メガネの上からはサングラスをできないので、少しでも快適に走れるように、ランニング用のサ　ンバイザーか帽子をかぶることにしています。
　→ランニング用のヘッドフォン（耳にかける用）ですが、
　　私もよく音楽やラジオを聴きながら走るので、色々試した結果、耳栓のようなかたちをしていて、耳　の中に入れるインナータイプが一番良いと感じていて、それを今でも使っています。
　　耳かけタイプも一時期使っていましたが、どうもしっくりきませんでした。結構キツめの小型ヘッド　フォンを使っていた時期もありますが、ちょっと長い時間走っていると、耳が痛くなってしまいます。　　そんなこんなで、余分なコードをクリップで服に留めて、インナータイプのイヤホンを使っていま　　す。形状から、最初に耳に入れるのに抵抗がありましたが、そんなに高くないわりに、音も良くて気に　入っています。
　　もし、ご参考になれば、幸いです。
　　

　 　 　

わたしも眼鏡をかけているので、よく悩みが分かります。ヘッドバンドをつけて額からの汗を食い止める、ヘッドフォーンは、フレキシブルハンガー（耳掛け・パイオニア製）のものを使うなどがわたしの対策です。

　 　 　

汗対策　：　ヘアバンド
ヘッドフォン　：　イヤホンにして上からヘアバンドで押さえる。（見た目が気になりますが…）

　 　 　

走っているときには、前方を正確に把握しなくても状況だけが判ればいいと思うので、少し度のゆるいサングラスを掛けています。メガネが軽くなって気になることが軽減されます。
「汗を拭く」ことに関しては、額や頭からの汗が流れてくるので、ヘアーバンドをしています。これにより髪の動きが止められて走りやすくなります。
走っているときにＭＰ３で音楽やラジオを聴いていますが、イヤホンか安物（これは軽い）のヘッドホンを使っています。機械の本体は簡単で軽いウェストポーチを腰に付けてベルトに携帯電話フォルダー（１００均）を付けてその中に入れています。（このときに走るときに揺れないように固定することが大切です）
その人に合った格好を探せばいいのです。決して高価なものを揃えることはありません。100均で捜してみるのもいいことです。そして自分に合った工夫をしてください。